## Formulation mathématique

Soit f(x) une fonction réelle de la variable réelle t, définie pour toute valeur de , sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t<0.

La transformée Laplace de f(t) est définie par l'égalité : F ( p ) = ∫ 0 + ∞ e ( − pt ) . f ( t ) dt F(p)= ∫_0^+∞e^(-pt).f(t)dt

p étant une variable complexe.

On dit que F(p) est la transformée de f(t) et que f(t) est l'original de F(p).

Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Laplace, il est nécessaire de savoir effectuer le passage de f(t) à F(p) mais aussi de F(p) a f(t).

On note : ou aussi F ( p ) = TL f ( t ) F(p)=TL {f(t)} .

Exemple 01 :

La figure 1 représente la fonction échelon unitaire u(t) ou Heaviside :

u ( t ) = { 0 si t < 0 1 si t > 0 } u( t )= left lbrace binom{0 si t < 0 }{1 si t > 0 } right rbrace
Fig. 01. Rampe (échelon de vitesse)

Exemple 02 :

Soit à calculer L { f ' ( t ) } L lbrace f^' (t) rbrace

En utilisant l'intégration par partie, on aura : F ( p ) = ∫ 0 + ∞ e ( − pt ) . f ' ( t ) dt F(p)= ∫_0^+∞e^(-pt).f'(t)dt

Si la condition initiale est nulle f(0)=0 on trouve : F ( p ) = ∫ 0 + ∞ e ( − pt ) . f ' ( t ) dt = pF ( p ) F(p)= ∫_0^+∞e^(-pt).f'(t)dt =pF( p )

De même pour la dérivée seconde : F ( p ) = ∫ 0 + ∞ e ( − pt ) . f ' ( t ) dt = p 2 F ( p ) − pf ( 0 ) − f ' ( 0 ) F(p)= ∫_0^+∞e^(-pt).f'(t)dt =p^2 F(p)-pf(0)-f'(0)

De même, si toutes les conditions initiales sont nulles f ( 0 ) = f ' ( 0 ) = f ' ' ( 0 ) = 0 f(0)=f^' (0)=f^ '' (0)=0 , alors : L { f n ( t ) } = p n F ( p ) L lbrace f^n (t) rbrace = p^n F( p )

### Propriétés et théorèmes

Les propriétés de la TL sont réunies dans le tableau ci-après :

A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants :

Théorème de la valeur initiale ⇒ lim t → 0 f ( x ) = lim p → ∞ { pF ( p ) } Théorème de la valeur initiale drarrow lim from{t rightarrow 0 } f( x ) = lim from{p rightarrow infinity } lbrace pF(p) rbrace
Théorème de la valeur finale ⇒ lim t → ∞ f ( x ) = lim p → 0 { pF ( p ) } Théorème de la valeur finale drarrow lim from{t rightarrow infinity } f( x ) = lim from{p rightarrow 0 } lbrace pF(p) rbrace

Ce résultat n'est valable que si n'a aucun pôle (racine du dénominateur) dans le demi-plan droit du plan complexe et aucun pôle sur l'axe imaginaire, à l'exception du pôle simple à l'origine [5].[1]

### Table du transformée de Laplace

## Notes

1. 5

   [5] Maurice Rivoire, Jean Louis Ferrier et Jean Groleau, Exercices d'automatiques : Signaux et systèmes, Edition Chihab–Eyrolles 1994.