## Transformée Inverse de Laplace

On peut exprimer la Transformée inverse, en utilisant les intégrales de Fourrier et de Melin-Fourrier.

Si F(p) est la Transformée de Laplace d'une fonction f(t) , on a :

f ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ e pt F ( p ) dp f( t )= {1} over {2 %pi j} int from{c-j %infinite } to{c+j %infinite } e^{pt} F( p )dp

Où c est une constante, appelée abscisse de convergence.

Cette méthode est difficile à utiliser et on préfère généralement :

- soit recourir aux tables de Transformées de Laplace. Dans ce cas, F(p) est immédiatement reconnaissable dans la table,

- soit, lorsque la fonction n'apparaît pas dans la table, décomposer en fractions partielles et écrire en termes de fonctions simples de p pour lesquels la Transformée de Laplace est toujours connue.

A noter que cette manière simple de trouver la Transformée inverse est basée sur le fait qu'il existe une correspondance unique entre la fonction temporelle et sa transformée inverse de Laplace du fait de la continuité de la fonction temporelle.

Remarque :

Dans le domaine de la théorie du contrôle, F(p) est fréquemment mise sous la forme : F ( p ) = A ( p ) B ( p ) F( p )= {A(p)} over {B(p)}

Avec A(p) et B(p) des polynômes en p, et degré de B(p) ≤ degré de A(p)

### Si F(p) ne contient que des pôles distincts

F(p) peut, alors, être décomposé en une somme de fractions partielles :

F ( p ) = B ( p ) A ( p ) = a 1 p + p 1 + a 2 p + p 2 + ... + a n p + p n F(p)={B(p)} over {A(p)}={a_1} over {p+p_1}+{a_2} over {p+p_2}+...+{a_n} over {p+p_n}

Avec : a i = [ B ( p ) A ( p ) ( p + p i ) ] p = − p i a_{i}= [ {B(p)} over {A(p)}(p+ p_{i}) ]_{p=- p_{i}} ai : constante appelée résidu au pôle p = pi.

Exemple 01 :

Trouver la Transformée Inverse de F ( p ) = p + 3 ( p + 2 ) ( p + 1 ) F( p )= {p+3} over {( p+2)(p+1)} . 2 pôles distincts : p = –1 , p = –2

F ( p ) = a 1 p + 1 + a 2 p + 2 F( p )= { a_{1}} over {p+1} +{ a_{2}} over {p+2} avec : a1 = 2, a2 = -1 , donc F(p) devient F ( p ) = 2 p + 1 − 1 p + 2 F( p )= { 2} over {p+1} -{ 1} over {p+2}

f ( t ) = 2 e − t − e − t f( t )=2 e^{-t}-e^{-t} .

Remarque :

Dans le cas où le degré de B(p) > degré de A(p) dans F ( p ) = B ( p ) A ( p ) F( p )= {B(p)} over {A(p)} il faut alors diviser le numérateur par dénominateur, ensuite appliquer la méthode des fractions partielles.

Exemple 02 :

Trouver la Transformée Inverse de G ( p ) = p 3 + 5 p 2 + 9 p + 7 ( p + 2 ) ( p + 1 ) G( p )= { p^{3}+5 p^{2}+9p+7 } over {( p+2 )(p+1)}

En divisant le numérateur par le dénominateur, on obtient : G ( p ) = p + 2 + F ( p ) G( p )=p+2+F( p )

### Si F(p) contient des pôles multiples :

Soit p1le pôle multiple de F(p) , r étant l'indice de multiplicité de ce pôle.

F ( p ) = ( B ( p ) ) ( A ( p ) ) F(p)=(B(p)) over (A(p)) , Avec A ( p ) = ( p + p 1 ) r ( p + p ( r + 1 ) ) ( p + p ( r + 2 ) ) … … . ( p + p n ) A(p)= (p+p_1 )^r (p+p_(r+1) )(p+p_(r+2) )…….(p+p_n )

Alors F(p) s'écrit : F ( p ) = ( B ( p ) ) ( A ( p ) ) = b r ( p + p 1 ) r + b ( r − 1 ) ( p + p 1 ) ( r − 1 ) + ⋯ ........ + b 1 ( ( p + p 1 ) ) + a ( r + 1 ) ( p + p ( r + 1 ) ) + a ( r + 2 ) ( p + p ( r + 2 ) ) + ......... ⋯ + a n ( p + p n ) F(p)= (B(p)) over (A(p))=b_r over (p+p_1 )^r +b_(r-1) over (p+p_1 )^(r-1) +⋯........+b_1 over ((p+p_1 ) )+a_(r+1) over (p+p_(r+1) )+a_(r+2) over (p+p_(r+2) )+.........⋯+a_n over (p+p_n )

Exemple :

Trouver la Transformée Inverse de F ( p ) = ( p 2 + 2 p + 3 ) ( p + 1 ) 3 F(p)=(p^2+2p+3) over (p+1)^3

F ( p ) = b 3 ( p + 1 ) 1 + b 2 ( p + 1 ) 2 + b 1 ( p + 1 ) 3 F(p)= b_3 over (p+1)^1+b_2 over (p+1 )^2 +b_1 over (p+1 )^3

Avec : b3 = 2 , b2 = 0 , b1 = 1 ,

donc F(p) devient : F ( p ) = 2 ( p + 1 ) 3 + 1 ( p + 1 ) 1 F( p )= 2 over (p+1)^{3}+ 1 over (p+1)^{1}

La fonction inverse de F(p) est f ( t ) = ( t 2 + 1 ) e − t f( t)= ( t^{2}+1 ) e^{-t}

### Si F(p) contient des pôles complexes conjugués :

F ( p ) = ( B ( p ) ) ( A ( p ) ) = ( a 1 p + a 2 ) ( ( p + p 1 ) ( p + p 2 ) ) + a 3 ( ( p + p 3 ) ) + ⋯ ........ + a n ( ( p + p n ) ) F(p)= (B(p)) over (A(p))=(a_1 p+a_2) over ((p+p_1)(p+p_2))+a_3 over ((p+p_3))+⋯........+ a_n over ((p+p_n))

Avec a1 et a2 les résidus aux pôles p1 et p2 : ( a 1 p + a 2 ) ( p = − p 1 ) = [ ( B ( p ) ) ( A ( p ) ) ( p + p 1 ) ( p + p 2 ) ] ( p = − p 1 ou p = − p 2 ) (a_1 p+a_2 )_(p=-p_1 )=[(B(p)) over (A(p)) (p+p_1 )(p+p_2 )]_(p=-p_1 ou p=-p_2 )

Exemple :

Trouver la Transformée Inverse de F ( p ) = ( p + 1 ) ( p ( p 2 + p + 1 ) ) F(p)=(p+1) over (p(p^2+p+1) )

On a : p 2 + p + 1 = 0 p^2+p+1=0 pour p = − 0,5 ∓ j 0,86 p=-0,5 -+j0,86

donc : F ( p ) = ( a 1 p + a 2 ) ( ( p + 0,5 + j 0,86 ) ( p + 0,5 − j 0,86 ) ) + a p F(p)=( a_{1}p+ a_{2}) over ((p+0,5+j0,86)(p+0,5-j0,86))+a over p

Après des calcule mathématique on trouve a1 = -1 , a2 = 0 , a3 = 1

donc F(p) s’écrit : F ( p ) = 1 p + − p p 2 + p + 1 F( p)= {1} over {p} + {-p} over { p^{2}+p+1 }

Ce qui donne pour f ( t ) = 1 − e − 0,5 t cos ( 0,86 t ) + 0,5 0,86 e − 0,5 t sin ( 0,86 t ) f( t )=1- e^{-0,5t}cos( 0,86t )+ {0,5} over {0,86} e^{-0,5t}sin( 0,86t )