## Représentation des systèmes dynamiques par équations différentielles :

### Systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT) :

Un système linéaire invariant dans le temps (SLIT) est un système pour lequel les coefficients des équations différentielles ne dépendent pas du temps.

La réponse d'un tel système est entièrement déterminée par ses propriétés et par son entrée.

### Solution d'une équation différentielle :

La solution d'une équation différentielle est une fonction qui satisfait l'équa-tion pour des conditions initiales données. La solution peut être composée de deux parties :

- Solution homogène (solution de l'équation homogène associée sans entrée u(t) .

- Solution particulière (solution qui dépend de l'entrée .

La Transformée de Laplace est souvent utilisée pour résoudre les équations différentielles dans le domaine de la fréquence. En prenant la transformée de La-place de l'équation différentielle, elle se transforme en une équation algébrique facile à résoudre [8][1].

### Fonction de transfert :

La fonction de transfert d'un système est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle du système, en supposant des conditions initiales nulles. Elle représente la relation entre l'entrée et la sortie dans le domaine de Laplace.

Exemple 01 : Modélisation de la dynamique d'une masse, d'un ressort et d'un amortisseur :

Figure1. Modélisations d'un système masse-ressort-amortisseur.

Dans un référentiel galiléen, l'accélération subie par un corps de masse est proportionnelle à la résultante des forces extérieures exercée sur cette masse, et inversement proportionnelle a .

On se souvient plus généralement de cette loi sous la forme : ∑ F ext = m x .. sum F_{ext}=m x csup{..}

Les relations de comportement du ressort et de l'amortisseur s'écrivent : f ressoet = − kx f amort = − c x . binom{f_{ressoet }=-kx }{f_{amort }=-c x csup{.} }

On obtient donc les équations de mouvement suivantes : m ( d 2 x ( t ) ) ( dt 2 ) + c ( d y ( t ) ) ( dt ) + k x ( t ) = F ( t ) m (d^2 x(t)) over (dt^2 )+c (d y(t)) over (dt )+k x(t)=F(t)

Où :

- x(t) : est la position de la masse,

- m : est la masse,

- b : est le coefficient d'amortissement,

- k : est la constante de raideur du ressort,

- F(t) : est la force appliquée.

Soit en variable de Laplace : m p 2 X ( p ) + cpX ( p ) + kX ( p ) = F ( p ) m p^{2}X( p) +cpX( p ) +kX( p )=F( p )

Exemple 02 : Systèmes électriques (circuit RLC)

Pour un circuit RLC en série,

Figure2. Circuit RLC série.

La loi de Kirchhoff donne : L ( d 2 i ( t ) ) ( dt 2 ) + R ( d i ( t ) ) ( dt ) + 1 C i ( t ) = s ( t ) L (d^2 i(t)) over (dt^2 )+R (d i(t)) over (dt )+1over C i(t)=s(t)

Où :

- i(t) : est le courant,

- L : est l'inductance,

- R : est la résistance,

- C : est la capacité du condensateur,

- s(t) : est la tension appliquée.

Soit en variable de Laplace : L p 2 I ( p ) + RpI ( p ) + 1 C I ( p ) = S ( p ) L p^{2}I( p) +RpI( p ) +1over C I( p )=S( p )

Exemple 03 : Moteur à courant continu

Vu de l'extérieur, la machine peut être représentée par la mise en série d'une résistance R, d'une inductance L et d'une f.e.m à vide donnée par la relation , Ev = k Ω si Ω est la vitesse de rotation.

Nous supposerons que l'ensemble fixé à l'arbre de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du couple de frottement est C=f j (frottement visqueux).

Fig. 3 . moteur à courant continu

Équation électrique : V e ( t ) = Ri ( t ) + L di ( t ) dt + K Ω ( t ) V_{e}( t )=Ri( t )+L {di(t)} over {dt} +K %iOMÉGA ( t )

Soit en variable de Laplace : V e ( p ) = RI ( p ) + LpI ( p ) + K Ω ( p ) V_{e}( p)=RI( p )+LpI(p) +K %iOMÉGA ( p )

Équation mécanique : j d Ω ( t ) dt = ki ( t ) − f Ω ( t ) − C ch ( t ) j {d%iOMÉGA(t)} over {dt}=ki( t )-f%iOMÉGA(t)- C_{ch}( t )

Soit en variable de Laplace : Jp Ω ( p ) = kI ( p ) − f Ω ( p ) − C ch ( p ) Jp %iOMÉGA ( p )= kI( p )-f %iOMÉGA ( p )- C_{ch}( p )

On peut écrire alors : Ω ( p ) = k f + Jp I ( p ) − 1 f + Jp C ch ( p ) I ( p ) = 1 R + Lp V e ( p ) − k R + Lp Ω ( p ) binom{%iOMÉGA ( p )= k over {f+Jp} I(p)- 1 over {f+Jp} C_{ch }(p) } {I( p )= 1 over {R+Lp} V_{e}(p)- k over {R+Lp} %iOMÉGA (p) }

## Notes

1. 8

   [8] Michel ETIQUE, Régulation automatique (REG), Haute Ecole d'Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd), Département d'électricité et d'informatique Filière Génie Electrique, octobre 2005.