Formulation mathématique
Soit f(x) une fonction réelle de la variable réelle t, définie pour toute valeur de , sauf éventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle pour t<0.
La transformée Laplace de f(t) est définie par l'égalité :
p étant une variable complexe.
On dit que F(p) est la transformée de f(t) et que f(t) est l'original de F(p).
Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Laplace, il est nécessaire de savoir effectuer le passage de f(t) à F(p) mais aussi de F(p) a f(t).
On note : ou aussi .
Exemple 01 :
La figure 1 représente la fonction échelon unitaire u(t) ou Heaviside :

Exemple 02 :
Soit à calculer
En utilisant l'intégration par partie, on aura :
Si la condition initiale est nulle f(0)=0 on trouve :
De même pour la dérivée seconde :
De même, si toutes les conditions initiales sont nulles , alors :
Propriétés et théorèmes
Les propriétés de la TL sont réunies dans le tableau ci-après :

A ces propriétés, on doit joindre les théorèmes suivants :