2
.4.2- Ajustement non linéaire d’un nuage de points :  
On considère N observations sur les deux variables X et Y .  
Dans le cas général, la relation entre X et Y semble être plutôt non  
linéaire, c’est-à-dire n’est pas de la forme y = ax + b  
.
Etude du cas hypebolique :  
La fonction permettant de représenter le nuage de points par une  
b
fonction hyperbolique du type :  
avec  
a  0, b  0  
y   
a
x
Dans ce cas le nuage aura l’allure suivante :  
1
Comment peut-on estimer  
b et a ?  
Nous sommes en présence d’une relation non linéaire entre  
y
et x.  
Afin d’utiliser la méthode des MCO, il faut d’abord retrouver,  
moyennant une transformation, dans ce cas logarithmique, une  
forme linéaire :  
b
a
On cherche  
a
et  
b
tels que : y   bx   
*
a
x
En utilisant le logarithme népérien dans l’équation (*) on trouve :  
a  
ln y  ln bx  ln b  a ln x  
Et si on supposons que :   ln b et   a  
Le modèle linéaire est alors de la forme :  
ln y   ln x    **  
   
Donc en utilisant la méthode des MCO, on peut retrouver  
et :  
2
i N  
ln xi ln yi  
 N ln x.ln y  
Cov (ln x, ln y)  
V (ln x)  
i 1  
ˆ
iN  
2
2
ln xi  N ln x  
i1  
ˆ
et    ln y  ˆ ln x  
On peut maintenant retrouver la valeur de  
b et la valeur de a :  
ˆ
ˆ
ˆ ˆ  
 ln b  b  e et   a  a    
3
Exercice 1 : Une entreprise fabrique un équipement. Le prix  
unitaire Y (en Dollar) de ce produit est en fonction du nombre X  
d’unités produites. On a relevé les résultats suivants.  
Unités produites  
(
xi  
)
Prix unitaire ( yi )  
2
150  
50  
20  
11  
6
3
5
8
1
1
0
2
5
1
2
- Construire le nuage des points.  
- Compte tenue de cette représentation, donner la forme  
théorique de l’ajustement de ce nuage de points.  
- Déterminer explicitement la fonction qui donne la relation entre  
les deux variables.  
3
4
1
- Construire le nuage des points.  
160  
140  
120  
100  
80  
60  
40  
20  
0
0
2
4
6
8
10  
12  
14  
2
- Compte tenue de cette représentation, donner la forme  
théorique de l’ajustement de ce nuage de points.  
Réponse : L’allure du nuage ressemble à une hyperbole, donc la  
forme théorique de l’ajustement de ce nuage de points est une  
forme hyperbolique de la forme :  
b
a
avec a  0, b  0  
y   bx  
a
x
5
3
- Déterminer explicitement la fonction qui donne la relation entre  
les deux variables.  
Réponse : D’après 2 cette fonction est de la forme :  
b
a
avec a  0, b  0  
y   bx  
a
x
a  
ln y  ln bx  ln b  a ln x  
Posons :  
 ln b et   a  ln y   ln x    
En considérant les deux (02) nouvelles variables et en utilisant  
la méthode des MCO, on peut retrouver  et  , tels que :  
iN  
ln xi ln yi  
 N ln x.ln y  
i1  
  
ˆ
ˆ
  ln y   ln x  
et  
ˆ
iN  
2
2
ln xi  N ln x  
i1  
6
i x y lnx lny  
i
i
i
i
0
,69  
1
2
3
4
5
6
2
150  
5,01  
3
5
50  
20  
11  
6
1,10  
1,61  
2,08  
2,30  
2,48  
3,91  
3,00  
2,40  
1,79  
1,61  
8
10  
12  
5
Total 40  
242  
10,26 17,72  
i  N  
ln x i ln y i  
 N ln x .ln y  
ˆ
ˆ
   ln y   ln x  
i 1  
et  
ˆ
  
i  N  
2
2
ln x i  
 N ln x  
i 1  
6
6
1
1
1
0,26  
6
On a :  
et  
lnx   
lnxi  
lnxi  
   
ln x   
1,71  
N
6
1
1
6
6
1
1
17,72  
ln yi   ln y   2,95  
ln y   
ln yi  
1
N
6
6
1
7
i  N  
2
i lnx lny (lnx ) (lnx ).(lny )  
i
i
i
i
i
ln x i ln y i  
 N ln x .ln y  
0
,69  
0,48  
3,46  
1
2
3
4
5
6
5,01  
i 1  
ˆ
  
i  N  
2
1,10  
1,61  
1,21  
2, 59  
4,33  
5,29  
6,15  
4,30  
4, 83  
4,99  
4,12  
3,99  
25,69  
3,91  
3,00  
2
ln x i  N ln x  
i 1  
2,08 2,40  
2,30  
1,79  
2,48 1,61  
2
ˆ
  
5 ,69  6  1,71  2,95  
2
2
0 ,05  6  1,71  
   
5 ,69  30 ,267  
0 ,05  17 ,5446  
4,577  
Total 10,26 17,72 20,05  
2
ˆ
  
2
ˆ
 1,83  a    1,83  
ˆ
  
2
,506  
ˆ
ˆ
  6,07  
ˆ
  ln y   ln x  2,95  1,83  1,71  
6,07  
b  e  e  432 ,7  
Donc la relation entre les deux variables est donnée par la  
b
a
1,83  
fonction est de la forme :  
y   bx  y  432,7.x  
a
x
8
Exercice 2 : Une entreprise fabrique un équipement. Le prix  
unitaire Y (en Dollar) de ce produit est en fonction du nombre X  
d’unités produites. On a relevé les résultats suivants.  
2
2
23  
24  
30  
60  
174  
X
Y
120  
60  
25  
10  
4
1
1
2
- Calculer la covariance entre le nombre d’unités produites (X )  
et le prix unitaire (Y ). Que peut on déduire sur la relation entre  
X et Y.  
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire r . Conclure sur  
x,y  
l’intensité de la liaison entre les deux variables X et Y.  
3
4
- Représenter le nuage de points (x , y ).  
- Compte tenue de cette représentation, donner la forme de  
i i  
l’ajustement de ce nuage de points et retrouver la relation  
entre les deux variables X et Y.  
5
- Quelle est Le prix unitaire du produit avec cette approximation  
pour produire 15 unités.  
9
1
- Calcule de la covariance entre le nombre d’unités produites (X )  
et le prix unitaire (Y ).  
N
N
i 6  
1
1
1
6
i
Cov ( x , y )    
x y    
x .y avec  
x   
xi , y   
yi  
i
N
N
i 1  
i1  
i1  
2
xi  
yi  
120  
60  
25  
10  
4
x x . y  
i
i
i
22  
23  
24  
30  
60  
484  
2640  
529  
576  
1380  
6
00  
00  
40  
74  
900  
3
3600  
30276  
2
1
174  
1
Total 333  
220 36365 5334  
2
20  
5334  
3
33  
y   36,667  Cov( x, y )   
55,536,667  
x   55,5;  
6
6
6
Cov(x, y) 889 2035,019  1146,019  
1
0
On a Cov(x, y) < 0, alors la relation entre les deux variables est  
négative. Dans ce cas, ces deux variables varient en sens  
inverse.  
2
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire r . Conclure sur  
x,y  
l’intensité de la liaison entre les deux variables X et Y.  
2
2
x y x x . y y  
i
Cov(x, y) Cov(x, y)  
i
i
i
i
i
avec  
r   
V(x)V( y)  
x, y  
2
2 120 484  
3 60 529  
2
640 14400  
380 3600  
(x)( y)  
2
1
ir  
1
2
36365  
24 25 576  
30 10 900  
2
600  
625  
100  
16  
2
V( x )    
x   x  
55,5  
i
N
3
00  
40  
74  
i1  
6
6
0 4 3600  
2
1
V( x ) 2980,583  
1
74 1 30276  
1
ir  
1
2
Total 333 220 36365 5334 18742  
2
et  
V( y )    
y   y  
i
N
i1  
1
8742  
6
2
V( y )   
36,667  
3123,667 1344,469 1779,198  
1
1
Cov( x, y )  
1146,019  
r   
( x ) ( y )  
x ,y  
2
980,5831779,198  
1146,019 1146,019  
   0,498  
r   
x ,y  
2
302,835  
5
303047,312  
La valeur de rx,y n’est pas proche ni de 1 ni de 0 cela traduit qu’il  
n’ya pas ni forte corrélation linéaire entre les deux variables ni faible  
corrélation linéaire.  
Il y’a une juste moyenne corrélation linéaire entre les deux variables  
(
La valeur de rx,y est proche de 0,5).  
1
2
3
- Représenter le nuage de points (x , y ).  
i i  
2
2
23  
60  
24  
25  
30  
10  
60  
4
174  
1
X
Y
120  
140  
120  
100  
(
22 ; 120 )  
80  
60  
40  
20  
0
(
24 ; 25 )  
30 ; 10 )  
23 ; 60 )  
(
(
(
60 ; 4 )  
(
174 ; 1 )  
0
20  
40  
60  
80  
100  
120  
140  
160  
180  
200  
1
3
4
- Compte tenue de cette représentation, donner la forme de  
l’ajustement de ce nuage de points et retrouver la relation  
entre les deux variables X et Y.  
-
L’allure du nuage ressemble à une hyperbole, donc la forme  
théorique de l’ajustement de ce nuage de points est une forme  
hyperbolique de la forme :  
b
a
avec a  0, b  0  
y   bx  
a
x
a
ln y  ln bx  ln b  a ln x  
Posons :  
 ln b et   a  
ln y   ln x    
En considérant les deux (02) nouvelles variables et en utilisant  
la méthode des MCO, on peut retrouver  et  , tels que :  
1
4
i  N  
ln x i ln y i  
 N ln x .ln y  
ˆ
i 1  
et  
ˆ
ˆ
  
   ln y   ln x  
i  N  
2
2
ln x i  
 N ln x  
i 1  
2
x y lnx lny (lnx )(lny ) (lnx )  
i
i
i
i
i
i
i
2
2
2
3
6
2 120 3,091 4,787  
3 60 3,135 4,094  
4 25 3,178 3,219  
0 10 3,401 2,303  
0 4 4,094 1,386  
1
1
1
4,797  
2,835  
0,230  
9,554  
9,828  
10,100  
11,567  
16,761  
26,615  
84,425  
7
,833  
,674  
0
5
174 1 5,159  
0
Total 333 220 22,058 15,789  
51,369  
6
1
22,058  
Donc :  
ln x  ln x   
3,676  
i1  
6
i
6
1
6
15,789  
6
ln y  ln y   
2,632  
i
6
i1  
1
5
5
1,369 63,6762,632  
ˆ
  
 1,9964459  2  
2
8
4,425  6 3,676  
   
ˆ
  ln y   ln x  2,632  2 3,676  2,632  7,352  9,984  
9
,984  
a 2,  
 lnb et b  e  21676,847  
b 21676,847  
Donc l’ajustement est : y    
a
2
x
x
5
- Quelle est Le prix unitaire du produit avec cette approximation  
pour produire 15 unités.  
b 21676,847 21676,847  
y    
96,342  
a
2
2
15  
x
x
1
6