2
.4- Ajustement d’un nuage de points :  
Nuage de points : Ensemble de points isolés représentés dans  
un graphique cartésien; c’est-à-dire des points M , M , ... , M  
1
2
n
de coordonnées ( x , y ) ; ( x , y ) ; ... ; ( x , y ).  
1
1
2
2
n
n
Exemple 1 : Tableau associé à deux variables mesurées sur 13  
bébés tels que; X = " le poids du bébé" et Y = " la taille du bébé "  
Le nuage des points de coordonnées ( 3,3 ; 49,4 );  
(
(
(
3,8 ; 52,4 ); ( 4,6 ; 55,6 ); ( 5,4 ; 58,7 ); ( 6,0 ; 61,0 ); ( 6,6 ; 63,0 );  
7,1 ; 64,8 ); ( 7,6 ; 66,4 ); ( 8,1 ; 67,8 ); ( 8,4 ; 69,0 ); ( 8,7 ; 70,3 );  
9,0 ; 72,6 ); ( 9,3 ; 72,9 ) est :  
(
9,3 ; 72,9 )  
9,0 ; 72,6 )  
8,1 ; 67,8 )  
7,6 ; 66,4 )  
(
5,4 ; 58,7 ) ( 6,0 ; 61,0 )  
(
4,6 ; 55,6 )  
3,8 ; 52,4 )  
(
(
(
(
(
6,6 ; 63,0 )  
(
7,1 ; 64,8 )  
(
3,3 ; 49,4 )  
1
Le nuage des points de coordonnées ( 3,3 ; 49,4 ); ( 3,8 ; 52,4 );  
(
(
(
4,6 ; 55,6 ); ( 5,4 ; 58,7 ); ( 6,0 ; 61,0 ); ( 6,6 ; 63,0 ); ( 7,1 ; 64,8 );  
7,6 ; 66,4 ); ( 8,1 ; 67,8 ); ( 8,4 ; 69,0 ); ( 8,7 ; 70,3 ); ( 9,0 ; 72,6 );  
9,3 ; 72,9 ) est :  
Evolution Taille – Masse (Enfants de 13 bébés)  
2
Exercice :  
Le tableau suivant donne la distance de freinage d'un véhicule  
automobile sur route sèche, en fonction de sa vitesse.  
Vitesse en Km/h  
(
xi  
)
Distance en m ( yi )  
4
5
6
8
0
0
0
0
8
12  
18  
32  
4
8
1
00  
1
2
- Construire le nuage des points.  
- Calculer la covariance entre la vitesse ( X ) et la distance ( Y ).  
Que peut on déduire sur la relation entre X et Y .  
3- Calculer le coefficient de corrélation linéaire, conclure sur  
l’intensité de la liaison entre X et Y .  
3
6
0
Y
yi  
8
x y  
i i  
i
xi  
40  
1
- Le nuage des points ( x , y )  
i i  
1
3
20  
00  
5
0
0
2
3
4
50 12  
6
4
60 18 1080  
80 32 2560  
30  
4
8
5
100  
4800  
Total 330 118 9360  
20  
10  
X
05  
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80  
2
- Calcule de la covariance entre la vitesse ( X ) et la distance ( Y ).  
i 5  
N
N
1
x , y   
1
1
Cov ( x , y )    
x y    
x . y  
avec x   
yi  
  
i1  
i
i
i
5
N
N
i 1  
i1  
3
30  
118  
9360  
x   66; y   23,6 Cov(x, y)  6623,6 18721557,6  
5
5
5
Cov(x, y) 314,4  
4
Comme Cov(x, y) > 0 alors la relation entre la vitesse et la distance de  
freinage est positive et les 2 variables varient dans le même sens.  
3
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire.  
xi2  
1600  
2500  
3600  
6400  
10000  
yi  
x y  
320  
i i  
yi2  
i
xi  
40 8  
Cov ( x , y )  
avec  
r   
1
x , y  
64  
V ( x )V ( y )  
2
3
4
50 12  
60 18  
80 32  
6
00  
144  
324  
ir  
1
N
1
2
2
et  
1080  
2560  
4800  
V ( x)    
x   x  
i 1  
ir  
i
1024  
4
8
5 100  
2304  
3860  
2
2
V ( y)    
y   y  
i
Total 330 118 9360  
N
24100  
i 1  
2
4100  
2
V ( x)   
66  
 4820  4356  V ( x)  464  
772  556,96  V ( y)  215,04  
5
3
860  
2
et V ( y)   
23,6  
14 ,4  
64  215 ,04  
5
3
r   
x , y  
rx , y  0,99  
4
Les variables varient dans le même sens. La valeur de r , proche de  
x , y  
1
, cela traduit une forte corrélation linéaire entre les deux variables.  
1
03  
2
.4.1- Ajustement linéaire d’un nuage de points :  
On considère N observations sur les deux variables X et Y . Donc;  
1
- Ces observations peuvent être représentées par un nuage de  
points.  
2
- Notre but est d’exprimer Y en fonction de X,  
3
- La représentation du nuage de points peut nous renseigner sur  
l’allure de la courbe de régression.  
Remarque :  
1
. L’ajustement linéaire consiste à trouver l’équation d’une droite du  
type y = ax + b , appelée droite de régression. Cette droite  
donne l’évolution de la variable Y (variable expliquée) en  
fonction de la variable explicative X.  
2
. La méthode d’ajustement que nous allons exposer est appelée  
«
«
méthode des Moindres Carrés Ordinaires» ou simplement  
MCO ».  
6
Méthode des Moindres Carrés Ordinaires : Considérons N couples  
d’observations ( x , y ), leurs nuage est :  
i
i
Droite de  
régression  
Donc les couples ( x , y ) vérifient :  
i
i
y   
ax  b  
  i   
1,, N
yi  
i
i
i
i  
ax +b  
où  représente le résidu du  
i
i
couple ( x , y ) . On peut alors  
i
i
écrire :  
 i  y  ax  b  
   
i
xi  
i
i N  
2
 i tels que :  
Remarque :La méthode MCO consiste à minimiser  
i 1  
i N  
i N  
2
2
i  
y  ax  b  
 f (a, b)  
i
i
i 1  
i 1  
Les deux conditions de premier ordre de la minimisation de cette  
fonction f par rapport à a et à b sont :  
i N  
i N  
2
    
i
   
i 1  
2
    
i
i 1  
et  
0
0
a
b
7
i N  
i N  
2
    
i
   
i 1  
2
    
i
i 1  
et  
0
0
iN  
a
b
2
    
i
   
i1  
iN  
iN  
2  
y  ax bxi  
 0   
y  ax bxi  
 0 (1)  
i
i
i
i
a
i1  
i1  
iN  
2
    
i
iN  
iN  
i1  
y  ax b  0 (2)  
et  
2  
y  ax b  
  
1  
0  
i
i
i
i
b
i1  
i1  
iN  
iN  
i N  
i N  
2
2
(
1)   
y x ax  
i
bx i  
 y x  a x  
i
 b x  0 (3)  
   
i 1  
i
i
i
i
i
i 1  
iN  
i 1  
i 1  
iN  
iN  
(
2)   
y  ax b  
 y  a x Nb  0 (4)  
i
i
i
i
i1  
i1  
i1  
En divisant les deux membres de l’équation (4) par  
N
, on obtient :  
iN  
iN  
iN  
iN  
1
a
Nb  
1
1
yi   
x   0 Sachant que : x   
i
x et  
y   
yi  
i
N
N
N
N
i1  
N
i1  
i1  
i1  
y  ax  b  0 (5)  b  y  ax  
Donc l’équation devient :  
8
En remplaçant, dans l’équation (3), b par y  ax d’après l’équation (5),  
i N  
i N  
i N  
On obtient :  
2
y x  a x  
i
y ax  
x  0  
i1  
i
i
i
i1  
i1  
i N  
i N  
i N  
i N  
2
i
y x  a x  y x  ax x  0  
i i i i  
    
i1 i 1 i 1  
i 1  
  
  
N . x  
N . x  
i N  
i N  
2
2
y x  a x  
i
i1  
 Nx. y  aNx  0  
i
i
i 1  
i N  
i N  
i
i 1  
2
2
y x  Nx. y  a x  
 Nx   
i
i
i1  
Ainsi, on obtient la valeur estimée de la pente de la droite de régression :  
iN  
x y  Nx. y  
i
i
i1  
ˆ
ˆ
 b  y  ax  
ˆ
a   
iN  
2
2
x
i
Nx  
i1  
ˆ
Donc l’équation de la droite de régression est : y  aˆ x  b  
9
Proposition 1 :  
On peut aussi calculer la valeur estimée de la pente de la droite  
de régression en utilisant l’une de ces deux expressions.  
Cov ( x, y)  
1ère expression : ˆ  
a   
V ( x)  
i  N  
i  N  
x  x y  y   
i i  
i 1  
2ème expression : a   
ˆ
2
x  x  
i
i 1  
1
0
Preuve : En effet ;  
iN  
iN  
iN  
1
1
x y  Nx. y   
x y  Nx. y  
x y  x. y  
i
i
i
i
i
i
N
i1  
N
i1  
i1  
ˆ
a   
iN  
iN  
iN  
2
1   
1
2
2
2
2
2
x
i
Nx  
x  Nx   
x
i
x  
i
N
N
i1  
i1  
i1  
i  N  
i  N  
x  x y  y  
i
i
Cov ( x, y)  
ˆ
a   
V ( x)  
i 1  
et ˆ  
a   
2
x  x  
i
i 1  
Proposition 2 : La droite de régression passe par le point moyen  
de coordonnées  
x, y  
.
Preuve :  
ˆ
ˆ
En effet, Comme, b  y  aˆ x  y  aˆ x b  
1
1
Exercice : Le tableau suivant donne la distance de freinage d'un  
véhicule automobile sur route sèche, en fonction de sa vitesse.  
1
2
- Construire le nuage des points.  
- Calculer la covariance entre la  
vitesse ( X ) et la distance ( Y ).  
Que peut on déduire sur la relation  
entre X et Y .  
- Calculer le coefficient de corrélation  
linéaire, conclure sur l’intensité de la  
liaison entre X et Y .  
Vitesse en Km/h  
(
xi  
)
Distance en m ( yi )  
4
5
6
8
0
0
0
0
8
12  
18  
32  
4
8
1
00  
3
4
- Déterminer, en utilisant la méthode des moindres carrés, l'équation  
de la droite de régression permettant d'estimer la distance de  
freinage en fonction de la vitesse du véhicule.  
5
6
- Interpréter la pente et la constante de l'équation de la droite obtenue.  
- A combien peut-on estimer la distance de freinage d'un véhicule  
roulant à 120 km/h.  
7
- Déterminer cette même droite sachant qu'une sixième mesure  
a donné pour : x = 0 ; y = 0 .  
i
i
1
2
6
0
Y
yi  
8
x y  
i i  
i
xi  
40  
1
- Le nuage des points ( x , y )  
i i  
1
3
20  
00  
5
0
0
2
3
4
50 12  
6
4
60 18 1080  
80 32 2560  
30  
4
8
5
100  
4800  
Total 330 118 9360  
20  
10  
X
05  
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80  
2
- Calcule de la covariance entre la vitesse ( X ) et la distance ( Y ).  
i 5  
N
N
1
x , y   
1
1
Cov ( x , y )    
x y    
x . y  
avec x   
yi  
  
i1  
i
i
i
5
N
N
i 1  
i1  
3
30  
118  
9360  
x   66; y   23,6 Cov(x, y)  6623,6 18721557,6  
5
5
5
Cov(x, y) 314,4  
1
3
Comme Cov(x, y) > 0 alors la relation entre la vitesse et la distance de  
freinage est positive et les 2 variables varient dans le même sens.  
3
- Calculer le coefficient de corrélation linéaire.  
xi2  
1600  
2500  
3600  
6400  
10000  
yi  
x y  
320  
i i  
yi2  
i
xi  
40 8  
Cov ( x , y )  
avec  
r   
1
x , y  
64  
V ( x )V ( y )  
2
3
4
50 12  
60 18  
80 32  
6
00  
144  
324  
ir  
1
N
1
2
2
et  
1080  
2560  
4800  
V ( x)    
x   x  
i 1  
ir  
i
1024  
4
8
5 100  
2304  
3860  
2
2
V ( y)    
y   y  
i
Total 330 118 9360  
N
24100  
i 1  
2
4100  
2
V ( x)   
66  
 4820  4356  V ( x)  464  
772  556,96  V ( y)  215,04  
5
3
860  
2
et V ( y)   
23,6  
14 ,4  
64  215 ,04  
5
3
r   
x , y  
rx , y  0,99  
4
Les variables varient dans le même sens. La valeur de r , proche de  
x , y  
1
, cela traduit une forte corrélation linéaire entre les deux variables.  
1
4
4
- L'équation de la droite de régression permettant d'estimer  
la distance de freinage en fonction de la vitesse du véhicule.  
La pente de cette droite de régression est obtenue par :  
iN  
yi2  
64  
yi  
x y  
i
xi  
40 8  
xi2  
1600  
i i  
x y  Nx. y  
i
i
1
3
20  
i1  
ˆ
2
3
4
50 12  
60 18  
80 32  
a   
600  
1080  
2560  
4800  
2500  
144  
324  
iN  
2
2
3
600  
x
i
Nx  
6400  
1024  
2304  
i1  
4
8
5
100  
10000  
9
360  5  66  23,6  
ˆ
Total 330 118 9360  
a   
24100  
3860  
2
24100  5 66  
ˆ
a  0,67  
De plus l'ordonnée à l'origine est égale à :  
ˆ
ˆ
ˆ
b  20,62  
b  y  ax  23,6 0,6766  
Donc L'équation s'écrit : y  0,67 x  20,62  
1
5
5
- Interprétation de la pente â et la constante de l'équation de  
la droite obtenue :  
-
Interprétation de la pente â = 0,67 :  
Lorsque la vitesse augmente de 1 km/h la distance de  
freinage augmente de â = 0,67m. En effet, Y  0,67X  
.
ˆ
-
Interprétation de la constante b  20 ,62  
La constante b  20 ,62  
:
ˆ
Indique que à l’arrêt le véhicule  
Est en retard d’une distance de 20,62m.  
6
- A combien peut-on estimer la distance de freinage d'un  
véhicule roulant à 120 km/h :  
L'équation étant : y = 0,67x - 20,62.  
En remplaçant x par 120 on obtient :  
y = 0,67120 -20,62 = 59,78 . Donc la distance de freinage  
d'un véhicule roulant à 120 km/h est y = 59,78 m .  
1
6
7
- Déterminer cette même droite sachant qu'une sixième mesure  
a donné pour : x = 0 ; y = 0 .  
i
i
C’est-à-dire l’équation des moindres carrés avec  
(
x = 0 ; y = 0)  
i i  
Il suffit de refaire les calculs avec les mêmes sommes mais en  
divisant par le nouveau nombre d'observations qui est égal à 6.  
3
30  
118  
x   55;  
y   19,67  
6
6
i N  
y x  Nx. y  
i
i
9
360  6  55  19,67  
i1  
a   
ˆ
 aˆ 0,48  
iN  
2
2
4100  6  55  
2
2
x
i
Nx  
i1  
ˆ
ˆ
b  y  ax  19,67  0,4855  
ˆ
b  6,74  
y  0,48 x  6,74  
Donc L'équation s'écrit :  
1
7