8
) Distributions conditionnelles :  
Les distributions conditionnelles s'obtiennent en fixant la valeur  
d’une des deux variables (où la modalité d’une des deux variables).  
Exemple 3 :  
On considère le tableau suivant, relatif à une population de 100  
ménages, tel que : X = " le nombre d’enfants du ménage " et  
Y = " le nombre de pièces du logement "  
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
X
1
- La distribution conditionnelle de  
X sachant Y = 3 est donnée par la  
première colonne du tableau.  
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
15  
10  
05  
30  
45  
30  
10  
10  
5
5
10  
0
15  
0
0
10  
2
- La distribution conditionnelle de  
X sachant Y = 4 est donnée par la  
deuxième colonne du tableau.  
Total 65  
20  
15  
100  
1
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total 3- La distribution conditionnelle de Y  
1
2
3
X
sachant X = 2 est donnée par  
la première ligne du tableau.  
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
15  
10  
05 30  
10 45  
30  
10  
10  
5
5
4
- De même, la distribution conditionnelle  
de Y sachant X = 5 est donnée par  
la quatrième ligne du tableau.  
0
0
15  
10  
0
Total 65  
20  
15 100  
Ces quatre distributions se présentent dans les tableaux suivants :  
Distribution conditionnelle Distribution conditionnelle  
de X sachant Y = 3  
de X sachant Y = 4  
Distribution conditionnelle  
Distribution conditionnelle  
de Y sachant X = 2  
de Y sachant X = 5  
X / Y = 3  
ni /1  
X / Y = 4  
ni /2  
nj / 1  
nj / 4  
Y / X = 2  
Y / X = 5  
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
Total  
15  
30  
10  
10  
65  
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
Total  
10  
5
y1 = 3  
y2 = 4  
y3 = 5  
Total  
15  
10  
05  
30  
y1 = 3  
y2 = 4  
y3 = 5  
Total  
10  
0
5
0
0
10  
20  
-3-  
-4-  
-1-  
-2-  
2
Remarque 2 : n = n ; n = n ; n = n ; n = n .  
i /1  
i 1  
i /2  
i 2  
j / 1  
1 j  
j / 4  
4 j  
En général si on prend le tableau des contingent des effectifs suivant:  
Distribution conditionnelle  
Distribution conditionnelle  
de X sachant Y = yj  
de Y sachant X = xi  
Y y y  
yj  
yk  
Total  
…
…
1
2
X
ni / j  
nj / i  
X / Y = yj  
Y / X = xi  
x1 n n  
n1j  
n2j  
n n  
11  
12  
22  
1k  
1.  
2.  
x1  
n1j  
y1  
ni1  
ni2  
x n n  
n n  
2
21  
2k  
.
.
.
x
2
.
n2j  
y
2
.
et  
.
.
.
.
x
n n  
nij  
n n  
i
i1  
i2  
ik  
i .  
.
.
.
x
i
ni j  
y
j
.
ni j  
.
.
.
.
.
xr  
n n  
nrj  
n. j  
nrk nr.  
n. k  
r1  
r2  
xr  
nrj  
n. j  
yk  
nik  
ni .  
Total n n  
.2  
N
.
1
Total  
Total  
Remarque 3 :  
La distribution conditionnelle de chacune des variables X et Y peut être  
définie à partir des fréquences.  
Dans le cas de la distribution conditionnelle de X sachant Y = y , on a :  
j
r
n ij  
n  N  
f ij  
ij  
Avec  
f  1  
i / j  
f   
;
i 1  
i / j  
n . j  
n  N  
f . j  
. j  
9
0
Dans le cas de la distribution conditionnelle de Y sachant X = x , on a :  
i
k
n ij  
n  N f  
ij  
ij  
f  1  
Avec  
f   
;
j / i  
j / i  
j 1  
n i .  
n  N f  
i .  
i .  
Exemple 3 : On reprend l’exemple 3 des 100 ménages en calculant les  
distribution conditionnelles en fréquences de X sachant Y = 4 et de  
Y sachant X = 2 :  
Distribution conjointe en effectifs  
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
X
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
15  
10  
05  
30  
45  
30  
10  
10  
5
5
10  
0
15  
0
0
10  
Total 65  
20  
15  
100  
4
Distribution conjointe en effectifs  
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
X
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
15  
10  
05  
30  
45  
30  
10  
10  
5
5
10  
0
1
ere méthode :  
15  
En passant par les distributions  
0
0
10  
conditionnelles des effectifs.  
Total 65  
20  
15  
100  
Distribution conditionnelle  
en fréquences de X  
sachant Y = 4  
Distribution conditionnelle  
Distribution conditionnelle  
en fréquences de Y  
sachant X = 2  
en effectifs de X  
sachant Y = 4  
Distribution conditionnelle  
en effectifs de Y  
sachant X = 2  
fi /2  
ni /2  
X / Y = 4  
X / Y = 4  
fj / 1  
Y / X = 2  
0
,50  
,25  
10  
nj / 1  
x1 = 2  
x1 = 2  
Y / X = 2  
y1 = 3  
y2 = 4  
y3 = 5  
Total  
0,50  
0,33  
0,17  
0
5
5
x2 = 3  
x2 = 3  
y1 = 3  
y2 = 4  
y3 = 5  
Total  
1
5
0
,25  
0
x3 = 4  
x3 = 4  
10  
05  
x4 = 5  
0
1,00  
x4 = 5  
1,00  
Total  
20  
Total  
30  
5
Distribution conjointe en effectifs  
2
eme méthode :  
Y
En passant par la distribution  
Conjointe en fréquences.  
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1 2 3  
X
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
15  
10  
05  
30  
45  
Distribution conjointe en fréquences  
30  
10  
10  
5
5
10  
0
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
15  
X
0
0
10  
,05 0,30  
,10 0,45  
0
,15 0,10  
0
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
x4 = 5  
Total 65  
20  
15  
100  
0
0
0
,30 0,05  
,10 0,05  
Distribution conditionnelle  
en fréquences de X  
sachant Y = 4  
0
0
0,15  
0,10  
0
Distribution conditionnelle  
de Y sachant X = 2  
0,10 0  
fi /2  
fj / 1  
,15 1,00  
X / Y = 4  
Y / X = 2  
Total 0,65 0,20  
0
,50  
x1 = 2  
x2 = 3  
y1 = 3  
y2 = 4  
0,50  
,33  
En utilisant les formules  
0
0,25  
f ij  
f
ij  
f   
et  
f   
j / i  
0,17  
1,00  
0
1
,25  
i / j  
y3 = 5  
f i .  
x3 = 4  
f . j  
0
Total  
x4 = 5  
,00  
Total  
6
Remarque 4 : f  f ; f  f ; f  f ; f  f .  
i /1  
i 1 i /2  
i 2 j / 1  
1 j  
j / 4  
4 j  
Définition : Les variables X et Y sont indépendantes si et seulement si  
i , j  f  f  f  
ij i . . j  
n  n  
i .  
. j  
Remarque :  
i , j : f  f  f  n   
ij  
i .  
. j  
ij  
N
Exemple 4 : Tableau associé à deux variables indépendantes.  
Les variables X et Y sont indépendantes car :  
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
X
n  n  
18  6  
54  
18  12  
54  
18  36  
54  
36  6  
1
2
3
4
1 .  
.1  
2  
n 11  
x1 = 2  
2
4
4
8
12  
18  
36  
N
x2 = 3  
24  
n  n  
1
.
.2  
 4  n 12  
 12 n 13  
 4  n 21  
Total  
6
12  
36  
54  
N
n  n  
.2  
36  12  
54  
36  36  
5
2.  
n  n  
1.  
.3  
 8 n 22  
n 23  
N
N
n  n  
6
2.  
.3  
n  n  
2 .  
.1  
24  
N
54  
N
54  
7