Chapitre 2 : Série statistique à 2 variables  
2
.1- Introduction : Consiste en la description de deux variables X et  
Y
mesurées simultanément sur les mêmes individus.  
Exemple 1 : On considère le tableau suivant, relatif à une population de  
00 ménages, tel que : X = " le nombre d’enfants du ménage " et  
Y = " le nombre de pièces du logement "  
Remarque 1 :  
i) La valeur 30 indique que, parmi les  
00 ménages observés, il y’a 30  
1
Y
y = 3 y = 4 y = 5 Total  
1
2
3
X
1
x1 = 2  
x2 = 3  
x3 = 4  
15  
10  
05  
30  
45  
15  
ménages qui ont 3 enfants et qui  
habitent dans des logements de  
3
0
5
5
10  
0
10  
10  
3
pièces.  
x4 = 5  
0
0
10  
ii) La valeur 65 indique que, parmi les  
100 ménages observés, il y a 65  
ménages qui habitent dans des  
logements de 3 pièces.  
Total  
20  
15  
100  
6
5
iii) La valeur 45 indique que, parmi les  
1
00 ménages observés, il y a 45  
ménages qui ont 3 enfants.  
1
2
.2- Distributions et caractéristiques : Soient X et Y deux variables  
mesurés sur N individus d’une population, Avec les modalités : M(X) =  
{
x , x ,…, x } , M(Y) = { y , y ,…, y }  
1 2 r 1 2 k  
1
- Distribution conjointe de X et Y : C’est la liste des r × k modalités  
conjointes (x , y ) associées chacune à son effectif n ou à sa fréquence  
i
j
ij  
fij .Ce qui donne le tableaux des contingent suivant :  
.
Les effectifs qui sont notés par nij  
est le nombre de fois où la modalité  
xi de la variable X et la modalité  
yj de la variable Y ont été observées  
simultanément.  
Y
…
…
y1 y2  
yj  
yk Total  
X
x n n  
n1j  
n2j  
n n  
1
11 12  
1k  
1.  
x n n  
n n  
2
21 22  
2k  
2.  
.
.
.
.
.
.
.
L’effectif n appelé effectif marginal  
i.  
de la variable X est le nombre total  
x n n  
nij  
n n  
i
i1  
i2  
ik  
i.  
d’observations de la modalité x de la  
i
.
.
.
.
.
variable X .  
L’effectif n appelé effectif marginal  
.
j
x n n  
nrj  
n. j  
n n  
r.  
r
r1 r2  
rk  
de la variable Y est le nombre total  
Total  
n n  
n N d’observations de la modalité yj de la  
.
1
.2  
. k  
variable Y.  
2
2
- Distributions marginales : La distribution marginale de X (resp.  
de Y) est la distribution de X (resp. Y) sur l’échantillon, calculée à  
partir de la distribution conjointe.  
Ces deux distributions peuvent se présenter sous forme de  
tableaux statistiques suivants :  
Distribution marginale de Y  
Distribution marginale de X  
Y
Effectif marginal  
X
Effectif marginal  
x1  
n1.  
n2.  
y1  
n.1  
n.2  
x
y
2
.
.
.
.
.
2
.
.
.
.
.
xi  
ni.  
y
n. j  
j
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xr  
nr.  
N
yk  
n. k  
N
Total  
Total  
3
Remarque 2 : Pour deux variables X et Y mesurés sur N individus  
d’une population, la distribution conjointe se donne sous forme de  
tableaux des contingent des effectifs ou des fréquences comme suit ;  
Distribution conjointe en effectif de X et Y  
Distribution conjointe en fréquence de X et Y  
Y y y  
yj  
yk  
Total  
…
…
Y y y  
yj  
yk  
1
2
…
…
1
2
Total  
f1.  
X
x1  
X
x1  
n n  
n1j  
n2j  
n n  
f f  
f1j  
f2j  
f1k  
f2k  
11  
12  
22  
1k  
1.  
2.  
11  
12  
22  
x n n  
n n  
x
f f  
f2.  
2
21  
2k  
2
21  
.
.
.
.
.
.
x
n n  
nij  
n n  
x
fi1 fi2  
fij  
fik  
fi.  
i
i1  
i2  
ik  
i.  
i
.
.
.
.
.
.
xr  
n n  
nrj  
n. j  
n n  
xr  
f f  
frj  
f. j  
frk  
f. k  
fr.  
1
r1  
r2  
rk  
r.  
r1  
r2  
.2  
Total n n  
.2  
n. k  
N
Total f f  
.
1
.1  
1
2
) L’effectif n appelé effectif marginal de X est le nombre total  
i .  
j  k  
d’observations de la modalité x de la variable X.  
i
n  n  
ij  
i .  
j 1  
) L’effectif n appelé effectif marginal de Y est le nombre total  
.
j
i  r  
d’observations de la modalité y de la variable de Y.  
j
n   
n ij  
4
.
j
i 1  
3
4
) L’effectif total de la distribution conjointe, noté N, peut être  
obtenu à partir de l’effectif marginal de X ou bien à partir de  
l’effectif marginal de Y :  
i  r  
i  k  
i  r j  k  
N  n  n   
n ij  
i .  
. j  
   
i 1  
j 1  
i  1 j  1  
n ij  
N
f   
) La fréquence conjointe, noté fi j est :  
ij  
5
) La fréquence f appelée fréquence marginale de X est le nombre :  
i .  
j  k  
n i .  
f   
f ij  
j 1  
i .  
N
6
) La fréquence f appelée fréquence marginale de Y est le nombre :  
.
j
i  r  
n
.
j
f   
f ij  
.
j
N
i 1  
et  
i  r  
i  k  
i  r j  k  
f   
f . j   
f  1  
  ij  
i  1 j  1  
i .  
i 1  
j 1  
5
7
) Les moyennes marginales et les variances marginales :  
Distribution marginale de Y  
Distribution marginale de X  
Y
Effectif marginal  
X
Effectif marginal  
x1  
n1.  
n2.  
y1  
n.1  
n.2  
x
y
2
2
.
.
.
.
.
.
x
ni.  
i
y
n. j  
j
.
.
.
.
.
.
xr  
Total  
nr.  
N
yk  
n. k  
Total  
N
Les moyennes marginales de  
X
et de  
Y
, ainsi que les variances  
marginales se calculent à partir des distributions marginales suivant les  
formules suivantes :  
j k  
j k  
i r  
i  r  
. j  
n y j  
n x i  
i .  
y   
 f y  
j
x   
f x ;  
. j  
i .  
i
N
N
i 1  
i 1  
j 1  
i  r  
j 1  
i  r  
1
2
2
;
V ( x )   
V ( y )   
n i .  
n . j  
x  x  
f i .  
x  x  
i
i
N
1
i 1  
j  k  
i 1  
j  k  
2
2
y  y  
f . j  
y  y  
j
j
N
j 1  
j 1  
6
Exemple 2 : On considère le tableau (1) des effectifs suivant, relatif à une  
population de 20 adolescents, tel que : = " la taille" et = " le poids"  
X
Y
Y
[40,50[  
[50,70[  
[70,90[  
Total  
X
[120,140[  
[140,160[  
[160,180[  
Total  
2
2
1
5
1
6
0
0
5
5
3
8
3
9
10  
20  
n ij  
N
Donc la distribution conjointe en fréquences est :  
f   
ij  
Distribution marginale  
Distribution marginale  
Y
[
40,50[ [50,70[ [70,90[ Total  
en fréquence de X  
en fréquence Y  
X
X
fi .  
Y
f . j  
0
,10  
,10  
,05  
,25  
0,05  
0,00 0,15  
[120,140[  
[140,160[  
[160,180[  
Total  
et  
0
0,30  
0,15  
0,00 0,40  
0,25 0,45  
[
120,140[ 0,15  
140,160[ 0,40  
[40,50[  
[50,70[  
0,25  
0,50  
0,25  
1,00  
0
[
0
0,50  
0,25 1,00  
[160,180[ 0,45  
Total  
1,00  
[
70,90[  
Total  
7
De même on obtient à partir du tableau (1) les distributions marginales  
des effectifs, en introduisant les centres des classes pour calculer les  
moyennes et les variances marginales :  
Distribution marginale en effectif Y  
Distribution marginale en effectif de X  
2
Y n c n c n c  
j . j  
2
n c n c n c  
i . i  
X
. j  
j
. j j  
i .  
i
i . i  
90 50700  
200 180000  
[40,50[ 5 45  
[50,70[ 10 60  
[70,90[ 5 80  
2
25 10125  
00 36000  
3
[120,140[  
[140,160[  
[160,180[  
Total  
3 130  
8 150  
9 170  
6
1
et  
4
00 32000  
1
530 260100  
1
225 78125  
490800  
Total  
20  
3120  
20  
Donc les moyennes marginales de  
X et de Y sont :  
1225  
3120  
x   
 156 cm et y   
 61 ,25 kg  
2
0
20  
sont :  
Et les variances marginales de  
X
et de  
Y
i3  
1
2
490800  
156  
2
2
V(x)    
n c   x  
 24540 24336  V (x)  204  
i. i  
N
2
0
i1  
j3  
1
2
78125  
20  
2
2
et V ( y)   
n c  y  
61,25  
 154 ,69  
. j j  
N
j1  
8