3
- Les Quartiles: Les quartiles Q , Q , Q divisent une série  
1 2 3  
statistique en 4 parties d'effectifs égaux : 25 % des valeurs sont ≤  
Q , 25 % comprises entre Q et Q ; 25 % entre Q et Q , et 25 %  
1
1
2
2
3
supérieures à Q3.  
Remarque : Q , Q , Q sont respectivement l'abscisse des points  
1
2
3
d'ordonnées 0,25 ; 0,5 ; 0,75 sur la courbe cumulative croissante. Q2  
est égal à la médiane.  
C’est-à-dire :  
-
-
-
L’ordre de Q est p = F(Q ) = 0,25.  
1 1  
L’ordre de Q est p = F(Q ) = F(Mé) = 0,50.  
2
2
L’ordre de Q est p = F(Q ) = F(Mé) = 0,75.  
3
3
1
4
4
- Calcul des Quartiles :  
.1 - Cas discret : On n’a p l’ordre du quartile Q , avec i = 1, 2, 3  
i
alors :  
v  v  
Np 1  
   
.
Np  
Q   
Si (N × p) est un nombre entier, alors  
-
-
i
2
Si (N × p) n’est pas un nombre entier, alors Q = v  
i
N × p  
où N × p représente le plus petit nombre entier supérieur ou  
égal à N × p ( qui est appelée partie entière avec excès ).  
2
Exemple 1 : Soit la répartition de 12 ménages selon le nombre  
d’enfants ;  
xi 0 1 2 3 4  
n 2 2 1 5 2  
i
-
Le premier quartile Q : Comme (N × p) = 12×0,25 = 3 est un  
1
nombre entier, on a :  
v  v  
v  v 1 1  
Np  
Np 1  
   
3
4
Q  1  
1
Q   
1
2
2
2
Le Deuxième quartile Mé = Q : Comme (N × p) = 12×0,50 = 6 est  
2
-
un nombre entier, on a :  
v  v  
Np 1  
   
v  v 3  3  
Np  
6
7
Q  3  
2
Q  Mé   
2
2
2
2
Le troisième quartile Q : Comme (N × p) = 12×0,75 = 9 est un  
3
-
nombre entier, on a :  
v  v  
Np 1  
   
v  v 3  3  
Np  
9
10  
Q  3  
3
Q   
3
2
2
2
3
Exemple 2 : Soit la répartition de 9 ménages selon le nombre  
d’enfants ;  
xi 0 1 2 3 4  
n 2 2 1 2 2  
i
-
Le premier quartile Q : Comme (N × p) = 9×0,25 = 2,25 n’est pas  
1
un nombre entier, on a : Q = v = v = 1.  
1
2,25  
3
-
Le Deuxième quartile Mé = Q : Comme (N × p) = 9×0,50 = 4,50  
2
n’est pas un nombre entier, on a : Q = v = v = 2  
2
4,50  
5
-
Le troisième quartile Q : Comme (N × p) = 9×0,75 = = 6,75 n’est  
3
pas un nombre entier, on a : Q = v = v = 3.  
3
6,75  
7
4
4
.2 - Cas continue :  
Pour le calcul de Q , Q , Q : On suit les étapes suivantes;  
1
2
3
1
2
- Détermination de la classe [b , b [ de Q  [b , b ] , En cherchant  
i-1 i 1 i-1 i  
la classe qui contient l’individu d’ordre N  p  N / 4  
.
 
   
- Si N : l’effectif cumulé croissant de la classe de Q ,  
i
1
N : l’effectif cumulé croissant de la classe qui précède la  
i-1  
classe de Q et N : l’effectif total.  
1
F : la fréquence cumulée croissante de la classe de Q ,  
i
1
F : la fréquence cumulée croissante de la classe qui  
i-1  
précède la classe de Q . Alors on aura :  
1
0,25 Fi1  
F  F  
N / 4 Ni1  
N  N  
  b  a  
Q  b  a  
i
i1  
i
1
i1  
i
i1  
i
i1  
5
Nb : Le calcul de Q et Q se fait de la même manière tel que;  
2
3
 0,5  F   
N / 2 N i1  
i1  
  b  a   
Q  Mé  b  a  
2
i1  
i
i1  
i
N  N  
F  F  
i i1  
i
i1  
   
i
N 3 / 4  N  
0,75 Fi1  
  b  a   
F  F  
i1  
Q  b  a  
3
i1  
i
i1  
N  N  
i
i1  
i
i1  
6
1
.3.2- Paramètres de dispersion :  
Remarque 1 : Les quartiles déjà vu comme paramètres de positions  
peuvent être considérés comme paramètres de dispersion.  
1- L’étendue : L’étendue noté E est simplement la différence  
entre la plus grande et la plus petite valeur observée.  
E  x  x  
max  
min  
2
- L’écart interquartile : Il s’agit de l’écarts entre le premier et le  
dernier quartiles. C’est-à-dire;  
IQ  Q  Q 1  
3
Remarque 2 : L’écart interquartile mesure l’étendue des 50% de  
valeurs situées au milieu d’une série de données classées.  
7
Exemple : On prend la répartition des 100 individus selon leurs âges;  
fi  
[
b , b [ n  
i
Ni  
Fi  
i-1  
i
[
5 , 10[ 11  
11 0 ,11 0,11  
[
10 , 15[ 10  
21  
36  
56  
0,21  
0,36  
0,56  
0
0
0
,10  
,15  
,20  
[
15, 20[ 15  
20, 30[ 20  
30 , 40[ 18  
40 , 60[ 16  
[
[
[
74 0 ,18 0,74  
90  
0,90  
0
0
,16  
,10  
[
60, 80[ 10 100  
1,00  
N   
Calculons les quartiles Q , Q et l’ écart interquartile. On a :  
 25 ,  
1
3
4
3 N   
75 , Donc la classe de Q est [15, 20[ , celle de Q est [40, 60[ :  
1 3  
4
0,25 0,21   
0,25  F   
i1  
ans  
Q  15  5  
  16,33  
Q  b  a  
1 i1 i  
1
0
,36 0,21  
F  F  
i
i1  
-
Ce qui signifie que 25% des individus sont âgés de moins de 16 ans  
et 4 mois ( 0,3312 = 3,96  4). Et pour Q on aura :  
3
8
-
Pour Q on aura :  
3
0,75  F   
0,75 0,74   
i 1  
  Q  40  20  
F  F  
i1  
  41,25 ans  
Q  b  a  
3
i 1  
i
3
0,90 0,74  
i
-
Ce qui signifie que 75% des individus sont âgés de moins de 41 ans  
et 3 mois ( 0,2512 = 3). Donc l’écart interquartile est :  
IQ  Q  Q  24 ,92  
3 1  
ans  
-
Ce qui signifie que la différence d’age entre Q et Q est de 24 ans,  
1
3
11 mois et 12 jours ( 0,9212 =11,04 et 0,430 =12 ).  
9
Remarque 3 :  
Si N × p Ni , alors le quantile xp  
classe du quantile est [b , b [ .  
=
=
b malgré que b [b , b [ et la  
i
i
i-1  
i
i-1  
i
Exemple : Soit la répartition de 100 personnes selon leur âge;  
Classes  
ni  
25  
20  
35  
20  
Ni  
fi  
Fi  
[20 , 30[  
[30 , 40[  
[40 , 60[  
[60 , 80[  
25  
45  
0,25 0,25  
0,20 0,45  
0,35 0,80  
8
0
100 1,00 1,00  
1
- Calcul du 1er quartile Q1  
:
er  
On a l’ordre du 1 quartile Q est p = 0,25.  
1
Comme N  p  1000,25  25  25  
,
et N = 25, alors :  
   
    
1
La casse de Q est [20, 30[, c'est à dire Q  [20, 30]. Donc :  
1
1
1
0
   
25 0   
N 1/ 4 N  
0
  20  10  
  30   
20,30  
Q  b  a  
1
1
0
2
5 0  
N  N  
1
0
Remarque 4 :  
On peut obtenir des valeurs approximatives des quartiles  
graphiquement à partir de la courbe cumulative.  
1
1
3
- La variance : La variance d’une variable X notée V(x) est la  
somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par le nombre  
d’observations (Effectif total N).  
A- Dans le cas d’une variable discrète :  
i  r  
i  r  
1
2
2
V ( x )   
n i  
x  x  
f i  
x  x  
i
i
N
i 1  
i 1  
B- Dans le cas d’une variable continue :  
i  r  
i  r  
1
2
2
f i c i  x   
i 1  
V ( x )   
n i c i  x  
N
i 1  
b  b  
i 1  
i
Avec c   
,
le centre de la classe [b , b [.  
i-1 i  
i
2
Remarque 5 : La variance peut être écrite sous une autre forme  
dite « formule développée » :  
1
2
-
La formule développée de la variance est  
1er – Cas d’une série statistique non groupée; ie on a N observations:  
i  r  
1
2
2
V ( x )    
x   x  
i
N
i 1  
A- Dans le cas d’une variable discrète :  
i  r  
i  r  
1
2
2
2
2
V ( x )    
n x   x    
f x   x    
i
i
i
i
N
i 1  
i 1  
B- Dans le cas d’une variable continue :  
i  r  
i  r  
1
2
2
2
2
V ( x )    
n c   x    
f c   x  
i
i
i
i
N
i 1  
i 1  
Preuve de la formule dévelopée : On a;  
i  r  
i  r  
1
1
2
2
2
V ( x )   
n i  
i  r  
x  x  
n i  
x  2 x x  x  
i
i
i
N
N
i 1  
i 1  
i  r  
2 i  r  
1
x
x
2
V ( x )   
n x  2  
n x   
n i  
i
i
i
i
N
N
N
i 1  
i 1  
i 1  
13  
i  r  
1
2
2
V ( x )    
n x   2 x . x  x   
   
i
i
N
i 1  
Remarque 5 : Cette formule développée de la variance est plus  
facile à retenir et plus rapide à calculer.  
Remarque 6 : La variance est exprimée dans le carré de l’unité de  
la variable. Par exemple, la variance de la variable âge est  
2
exprimée en « années au carré (année )» car ;  
i  r  
1
2
2
n x   x  
i i  
V ( x )    
N
i 1  
1
4
4
- L’écart type : On appelle écart type que l’on le note par  (x) ,  
la racine carrée de la variance :  
 x  V ( x )  
   
Remarque 7 :  
i) L’écart type est exprimé dans la même unité de mesure que la  
variable.  
ii) Il est utilisé comme un indicateur de la dispersion de la série  
statistique, de façon que dans un rangement croissant  
la moyenne  
x
partage la population en deux partie tel que les  
auront  
auront  
individus ayant la valeur de la variable inférieur à  
x
approximativement x   ( x ) , les autres  
X x  
   
x   ( x ).  
iii) Plus l’écart type est grand, plus la dispersion des observations  
autour de la moyenne de la variable est forte.  
iv) Une distribution aura un écart-type proche de 0 si ces valeurs  
seront ramassée autour de la moyenne.  
1
5
Exemple 1 : Considérons les notes suivantes en statistique d’un  
groupe de 20 étudiants :  
2
x
n n x n x  
i
i
2
i. i  
4
i. i  
8
2
3
7
8
2
4
6
28  
18  
196  
128  
432  
578  
1620  
2980  
2
16  
1
1
1
2
7
8
3
36  
2
3
4
5
90  
Total  
20  
214  
i r  
i r  
n x 214  
1  
2
i
i
i
2
n x  x  
Donc :  
et  
x   
 10 ,7  
V ( x )   
  
i
N
N
20  
i 1  
i 1  
2
980  
2
10,7  
   
0
V (x)   
V(x)  149114,49  34,51   ( x)  5,87  
2
Donc, certains étudiants (les bons) auront approximativement la note  
moyenne (10,7) plus (+) 5,87 (=16,57) les autres (les mauvais)  
auront la note moyenne (10,7) moins (-) 5,87 (= 4,83).  
1
6