1

.3- Paramètres d’une série

.3.1- Paramètres de position :

- La moyenne arithmétique ( moyenne ) : Notée

x

est égale ;

1^e^r– Cas d’une série statistique non groupée; ie on a N observations:

x ,x ,…,x , alors la moyenne est donnée par :

1

2

N

x  x    x

N



1

2

x 

x_i



N

i1

Exemple 1 : On considère les notes obtenues en statistique par un

groupe d’ étudiants : 14, 16, 12, 9, 11, 16, 7, 9, 7, 9.

La moyenne de ces notes est :

1

41612 91116 7 9 7 9

x 

11

10

2^e^m^e– Cas d’une série statistique groupée; la moyenne :

A- Dans le cas d’une variable discrète :

i  r

n x  n x    n x

n x

1

2

r

i

x 



f_ix_i



N

i 1

i  1

1

B- Dans le cas d’une variable continue :

i  r

n c  n c    n c

n c

1

2 2

r

i

x 



f _ic_i



N

i  1

b  b

i  1

i

,

Avec c 

le centre de la classe [b , b [.

i-1 i

i

2

Exemple 2 :

Classes

Centres c_iEffectifs n_i

Fréquences f_i

n c

i i

0

,15

[

20-40[

30

15

20

450

0

,20

[40-60[

1000

1600

5

0

[60-100[

80

50

20

0

,45

[

100-200[

45

6750

9800

1

Total

100

1,00

i  r

n c _i

9800



 98  x  60  100

 

i



x 



N

100

i  1

5

0

2

- Le mode : C’est la valeur de la variable ayant le plus grand effectif

(

ou la fréquence la plus élevée). On note le mode M_o.

A. Cas d’une variable discrete :

Exemple : On considère les notes obtenues en statistique par un

groupe de 20 étudiants :

7

, 13, 5, 15, 12, 9, 7, 8, 14, 16, 13, 6, 13, 10, 13, 12, 10, 7,12, 13.

x_i5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16



n_i1 1 3

1 1

5

1

2

3

1

Le mode de cette série est M = 13, valeur qui apparaît cinq fois.

o

L’interprétation : Est que la note la plus fréquente est 13.

Remarque : Graphiquement, dans un diagramme en bâton le mode

correspond à l’abscisse du bâton le plus élevé.

3

C’est-à-dire :

M =2

o

B. Cas d’une variable continue : Dans ce cas, on parle plutôt de

classe modale . On a deux cas.

B.1- Cas d’amplitudes identiques :(ie a = a  i  j) la classe

i

j

modale est la classe d’effectif n le plus élevé, soit [b , b [ , avec le

i

i-1

i

Mode M  [b , b [ alors :

o

i-1

i

b_i_-₁: borne inférieure de la classe modale.

b_i: borne supérieure de la classe modale.

a_i: amplitude de la classe modale.

m = n – n et m = n – n .





m₁





M  b  a

i

Avec;

O

i1



1

^m^^m2



1

i

i-1

2

i

i+1

5

2

Exemple : Soit la distribution de la population de 20 ménages selon

le revenu ( en centaines de DA ) des deux parents ;

Fréq ^fi

Classes en CDA

Amp a_iEff n_i

[200-300[

[300-400[

[400-500[

[500-600[

[600-700[

Total

100

40

60

0,20

0,30

30

0

,15

50

0,25

0,10

1,00

20

200

La classe modale est [300 - 400[. Le mode est calculé par :



m 

 60  40

  300  100 





60  40 60  30





1





M  b  a

O

i1

i



m  m₂















1



M  340 CDA

O

Interprétation : On dit que le salaire le plus fréquent est de 340 CDA.

5

B.2- Cas d’amplitudes inégales :(ie a  a ) la classe modale est la

i

j

c

classe d’effectif corrigée n le plus élevé (ou encore la fréquence

i

c

corrigée f la plus élevée), est le mode M est tel que:

i

o

b_i_-₁: borne inférieure de la classe modale.

b_i: borne supérieure de la classe modale.



m 

1

Avec;

a : amplitude de la classe modale.





M  b a

i

O

i1

i



c

m  m



1

2



m  h  h  n  n

1

i

i  1

i

i  1

c

2

i

i  1

i

i  1

Où h , h et h sont les effectifs corrigés.

i

i-1

i+1

Remarque 1: Dans les 2 cas on peut calculer le mode M en utilisant

o

les fréquences à la place des effectifs, en prenant ;

1

2

- m = f – f et m = f – f si (a = a  i  j)

1

i

i-1

2

i

i+1

i

j

c

i1

et m  f  f

si (a  a )

i j

- m  f  f

2

i

i  1

1

i

6

Exemple : Soit la répartition de 100 personnes selon leur âge; a* = 100

c

Effe cor

Classes Amp a_in_iDensités d_i

n _i

[20 , 30[

[30 , 40[

[40 , 60[

[60 , 80[

10

20

25

35

20

2,00

2,50

1,75

200

250

1

75

1

,00

100

La classe modale est [30 - 40[ , et le mode est :



m 

 250  200





250  200 250  175





1



  30  10



m  m₂





M  b  a

O

i1

i













1



M  34

O

Interprétation : L’âge le plus fréquent est de 34 ans.

5

Détermination graphique du mode d’une variable continue :

Si la classe modale est [b , b [ , avec le Mode M  [b , b [ alors :

i-1

i

o

i-1

i



m 

1





M  b  a

i

O

i1





1

^m^^m2



Et graphiquement le Mode M  [b , b [ sur un histogramme est le

o

i-1

i

point d’intersection des deux segments [(b , h ); (b , h )] et

i-1

i

i+1

[

(b , h ); (b , h )], voir figure suivante :

i-1 i-1 i i

(

b ,h )

i-1 i

(

b ,h )

i-1 i-1

(

b ,h )

i i+1

(

b ,h )

i i

8