1.3- Fonction de répartition et diagramme cumulatif :  
On appelle fonction de répartition d’une variable statistique  
Equipe de probabilités  
Coordinateur : Mr Medjati  
quantitative toute application définie par :  
→ [0 , 1]  
F :  
R
x → F(x) = P(X ≤ x)  
F(x) proportion des individus dont la valeur de la variable est  
strictement inférieurs ou égale à x, c’est-à-dire X ≤ x.  
1
- Cas variable statistique discrète :  
F(x) = fréquence de (X ≤ x) = f + f +…+ f = F tel que :  
1
2
p
p
f , f , … , f sont les fréquences des valeurs de la variable ≤ x ,  
1
2
p
si non F(x) = 0. Donc  
1
Equipe de probabilités  
Coordinateur : Mr Medjati  
0
si x  x1  
F ( x)  F si x  x  x  
i
i
i1  
1
si x  x  
r
tel que r désigne l’ordre de la dernière valeur (modalité).  
2
Exemple :  
Le tableau suivant, donne le nombre d’absences des étudiants au  
Equipe de probabilités  
Coordinateur : Mr Medjati  
module d’analyse.  
Nbre d’absences xi  
Effectifs ni  
fi  
Fi  
0
1
5
8
4
3
0
,25 0,25  
,40 0,65  
,20  
,15 1,00  
1,00  
0
0
2
0
,85  
3
0
Total  
2
0
00 ss ii xx  00  
0 si x  0  
00 ,, 22 55 ss ii 00  xx  11  
0
,65 si 1  x 2 2  
,85 si 2  x  3  
FF (( xx ))   
0
1
si 3  x  
3
0 si  
x 0  
0
0
0
,25 si 0  x  1  
,65 si 1  x  2  
,85 si 2  x  3  
Equipe de probabilités  
Coordinateur : Mr Medjati  
F(x)   
1
si 3  x  
Ainsi on obtient la représentation de la fonction de répartition,  
appelée diagramme cumulatif ou diagramme intégral.  
F ( x )  
1,00  
0,9  
0,8  
0,7  
0,6  
0,5  
0,4  
03  
0,2  
01  
-
1
x i  
0
1
2
3
Remarque : Dans le cas discret on a une fonction en escalier .  
4
2
- Fonction de répartition pour le cas d’une variable statistique  
continue :  
Dans ce cas on va juste donner la technique d’obtention de la courbe  
de la fonction de répartition qui est appelée courbe cumulative. En  
effet :  
F :  
R
→ [0 , 1]  
x
→ F(x) = P(X ≤ x)  
Et son diagramme (courbe cumulative), est une ligne brisée  
obtenue en joignant  
-
-
Les différents points de coordonnés (b ,F ) dans l’ordre  
i i  
croissant avec F = 0  
.
0
Et en joignant du coté gauche du point (b , F ) la ½ droite y = 0  
0
0
et du coté droit du point (b , F ) la  
½ droite y = 1.  
r
r
5
Exemple :  
On reprend l’exemple de la page 32.  
Ainsi la courbe de la fonction de répartition, appelée courbe  
cumulative se dessine comme suit :  
(
80;1,00)  
F(x)  
fi  
[
b , b [ n  
Ni  
Fi  
(10;0,11)  
05;0)  
(15;0,21)  
(30;0,56)  
(40;0,74)  
i-1  
i
i
(
60;0,90)  
(
(
20;0,36)  
1,00  
[
5 , 10[ 11 11 0 ,11 0,11  
0,9  
[
10 , 15[ 10 21  
0,21  
0,36  
0,56  
0
0
0
,10  
,15  
,20  
0
,8  
[
15, 20[ 15 36  
20, 30[ 20 56  
0,7  
0,6  
[
0,5  
[
[
30 , 40[ 18 74 0 ,18 0,74  
40 , 60[ 16 90  
0,4  
0,90  
0
0
,16  
,10  
0,3  
0
,2  
,1  
[
60, 80[ 10 100  
1,00  
0
0
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80  
05  
b
i
4
6
Téchnique de calcul d’une valeur de F(x) pour x R  
:
Pour calculer F(x),  x  R on va réaliser une interpolation  
linéaire entre les points A(b ; F(b )) = (b ; F ) et B(b ; F(b )) = (b ;  
i-1  
i-1  
i-1  
i-1  
i
i
i
Fi) tels que x  [b , b [  
i-1  
i
A(b ; F(b ))=(b ; F )  
i-1  
i-1  
i-1  
i-1  
B(b ; F(b ))=(b ; F )  
i
i
i
i
C(x; F(x))  
x
L’équation de la droite (AB) est de la forme y = mx+p tel que :  
y  y y  y  
F
i  
b
F  
i1  
bi1  
F  F F  
x
Fi1  
B
A
C
A
i
i1  
m   
x  x x  x  
b  b  
b  b  
x b  
B
A
C
A
i
i
f
i1  
i1  
i
x  bi1 
 
  
F   
F x  F  m  
   
i1  
x bi1  
i1  
bi  b  
i1  
7