Chapitre 1 : Série statistique à 1 caractère.

1

.1- Introduction :

.1.1- La statistique :

Pour un groupe d’individus ou d’objets la statistique

est l'étude de :

1

2

. La collecte de données.

. Leur analyse, leur traitement et l'interprétation des

résultats.

3

. Leur présentation afin de rendre les données

compréhensibles par tous.

1

.1.2- Population statistique :

Une population statistique est l'ensemble sur lequel on

effectue des observations.

Exemples :

1

. Ensemble de personnes interrogées pour une

enquête.

2

. Ensemble de pays pour lesquels on dispose de

données géographiques ou économiques, ...

1

.1.3- Individu (ou unités statistiques):

Les individus sont les éléments de la population

statistique étudiée. Pour chaque individu, on dispose

d'une ou plusieurs observations.

2

Exemples :

1

2

3

. Chacune des personnes interrogées pour une

enquête.

. Chaque pays pour lequel on étudie des données

socio-économiques, …

. Chaque jour de l'année pour lequel on dispose de

données météorologiques, ...

1

.1.4- Caractère statistique (ou variable statistique):

C'est ce qui est observé ou mesuré sur les individus

d'une population statistique.

Il peut s'agir d'une variable qualitative ou quantitative.

3

Exemples :

1

. Taille, poids, salaire, sexe, profession d'un groupe

donné d'individus.

2

. Température maximale et minimale, pluviométrie

ensoleillement, mesurés à un endroit donné tous les

jours.

A. Variable qualitative:

Une variable statistique est qualitative si ses valeurs, ou

modalités, s'expriment de façon littérale ou par un

codage (ie une observation qui n’est pas mesurable).

Exemples :

1

. Sexe, situation familiale,…

2

. Etat du temps constaté à un endroit donné chaque

jour (pluvieux, neigeux, beau, venteux, ...)

4

B. Variable quantitative:

Une variable statistique est quantitative si ses valeurs

sont des nombres sur lesquels des opérations

arithmétiques telles que somme, moyenne, ... ont un

sens.

Remarque: Les variables quantitatives peuvent être

discrètes ou continues.

B.1 Variable quantitative discrète:

C'est une variable quantitative pouvant prendre par

nature un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs.

Exemples :

1

. Nombre d'enfants par famille.

2

. Nombre de pièces d'un appartement

5

B.2 Variable quantitative continue:

C'est une variable quantitative pouvant prendre par

nature une infinité de valeurs, généralement tout un

intervalle réel.

Exemples :

Tailles, poids, salaires, surfaces cultivées, température.

Remarque : Dans ce cas on utilise des intervalles [a , b [

i

au lieu de x_i.

1

.1.5- Modalité:

Les modalités d'un caractère sont les différentes

résultats de l’observation (nombres ou propriétés).

6

Exemples :

1

2

3

. Cas qualitatif :

Les modalités de la variable X = "situation familiale"

sont : M ={célibataire, marié, veuf, divorcé}.

. Cas quantitatif discret :

Les modalités du la variable X = "Note à un examen"

sont: M = {7; 9; 14; 16,5}.

. Cas quantitatif continue :

Les modalités de la variable X = " Taille" sont :

les valeurs appartenant aux intervalles [150, 165 [,

[

165, 180 [ , etc…

Remarque : Il y’a 2 types de variables statistiques

qualitatives;

7

1^e^r- Variable qualitative nominale :

La variable est dite qualitative nominale quand les modalités ne

peuvent pas être ordonnées (ne peuvent pas être classées).

Exemple 1 :

La variable X = « situation familiale » avec les modalités notées

C, M, V, D.

Exemple 2 :

La variable X = "sexe" avec les modalités notées: M,F.



2^e^m^e- Variable qualitative ordinale :

La variable est dite qualitative ordinale quand les modalités

peuvent être ordonnées. Si, M={x ,x …,x_r}désigne l’ensemble

1 2

des modalités, ces valeurs sont ordonnées, c’est-à-dire :

…

^x1 ^x

2

x . La notation x x se lit x précède x .

r 1 2 1 2

8

Exemple 1 :

Un questionnaire de satisfaction demande aux consommateurs

d'évaluer une prestation en cochant l’une des six catégories

suivantes :

(

a) nulle, (b) médiocre, (c) moyenne, (d) assez bonne,

e) très bonne, (f) excellente.

(

Exemple 2 :

La variable X = « Niveau d’instruction ».

9

1

.1.6 Effectif et Fréquence d’une modalité:

L’effectif n d’une modalité (ou d’une classe) est le nombre de



i

fois où la modalité (resp la classe) n° i a été observée.



L’effectif total N est le nombre total d’individus observés.

r

N  n  n    n  n _i



i  1

1

2

r

La fréquence (ou fréquence relative) f d’une modalité est

i

le rapport de l’effectif n à l’effectif total N.

i

n

n _i

r

i

f  

i

N

ⁿi



i  1

Remarque : Les fréquences relatives peuvent être exprimées en

pourcentages, et on a le résultat suivant :

r

n _i

1

N

f  1 car

f 



n 

 1



i



i

N N

i  1

1

i  1

i1

10

Exemple : Sur 200 familles, 50 ont 2 enfants, on dira que la

fréquence f correspondant à la valeur x = 2 de la variable

i

"

nombre d'enfants", est :

5



2

0

1

4

n _i



 0,25 soit 25%

f 

i

00

N

1

.1.7 Présentation dans un tableau statistique :

A. Cas qualitatif nominale : Pour une variable statistique

Qualitative nominale, si l’ensemble M =

{

M ,M ,…, M_r} désigne

1

2

l’ensemble des modalités, alors le tableau statistique associé

à ce caractère est :

Modalités (numérotés) M Effectifs n Fréquences f

i

M (1)

n

f₁

f₂

1

M (2)

2

.

M (r)

f_r

1

n_r

N

r

Total

1

Exemple 1:

On s’intéresse aux valeurs de la variable X = «situation familiale»

prises sur 20 personnes dont la codification est ;

c : célibataire, m : marié(e), v = veuf(ve), d = divorcé(e). Donc le

domaine de la variable X est M = {c, m, v, d}.

Considérons les résultats suivants :

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

m m d c c m c c c m c m v m v d c c c m

Et on obtient le tableau suivant :

M_i

Effectifs n Fréquences f

i

c

9

7

2

0,45

0,35

0,10

1,00

m

v

d

2

0

Total

1

2

Remarque 1 : Avant d’aborder les autres cas on définit ce qui suit;

1

- Fréquences cumulées croissantes F (f ) : C’est

i ic

F  f , F  f  f et

1

2

1

2

i

F  f  f  f    f 

f _p

i

ic

1

2

i



p 1

2

- Fréquences cumulées décroissantes F’ (f ) : C’est

i id

'

r

'

F  f , F  f  f et

r

r 1

r

r 1

r

'

F  f  f  f    f  f



p

p i

i

id

r

r 1

i

Remarque 2 : De la même manière on définit les effectifs

cumulés croissants N (n ) et les effectifs cumulés décroissants

i

ic

N’ (n ).

i

id

i

r

'

et N  n  n

i id p



p  i

N  n  n

i

ic



p

p  1

1

3

B. Cas qualitatif ordinale :

Si M = x , x , …, x_r} désigne l’ensemble des modalités, ces

valeurs sont ordonnées, c’est-à-dire : x x₂

{

1

2

…

x_r.

1

Avec x x se lit x précède x . Ainsi le tableau associé est :

1

2

1

2

Effectifs cumulés

Fréquences cumulées

croissantes F_i

x_i

Effectifs n_i

Fréquences f_i

croissant N_i

x₁

n₁

f₁

N₁

F₁

n₂

.

f₂

.

x

F₂

N

2

.

^xr

ⁿr

N_r

f_r

F_r

Total

N

1

4

Exemple :

0 chemises sont classées par taille :

x = S, x = M, x = L, x = XL, et x = XXL.

2

1

2

3

4

5

Le tableau associé est :

Effectifs cumulés

Fréquences cumulées

croissantes F_i

x_i

Effectifs n_i

Fréquences f_i

croissant N_i

x₁

^x2

0,20

0,10

0,25

0,40

4

2

5

0,20

0,30

4

6

11

^x3

0,55

0,95

1,00

x₄

^x5

8

1

19

20

0,05

1,00

Total

20

Remarque 3 :

Le cas quantitatif discret se fait de la même manière que le cas

qualitatif ordinal, et on obtient un tableau statistique semblable à

celui du cas qualitatif ordinal.

1

5

Et dans le cas quantitatif continue on aura :

Fréquences Fréquences cumulées

Effectifs cumulés

Classes [b , b [ Centres

c

Effectifs n_i

i

i-1

i

^fi

croissant N_i

croissantes F_i

[

b , b [

c₁

n₁

f₁

^N1

F₁

F₂

.

0

1

[b , b [

c₂

n₂

f₂

N₂

1

2

.

[

b , b [

n_r

f_r

c_r

N_r

F_r

r-1

r

1

Total

N

Remarques :

b  b

i  1

i

, c  x

1. Le centre d’une classe est : c 

i

2

. L’amplitude d’une classe est : a  b  b

i  1

i

1

6

Exemple :

La répartition de 100 ménages selon leurs dépenses de

consommation mensuelles exprimées en milliers dinars se

présente comme suit :

Classes de dépenses

Nombre de ménages

[

20-40[

40-60[

15

20

45

[

[60-100[

[

100-200[

Et le tableau associé est :

Classes Centres c Effectifs n Effectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées

i

^fi

croissant N_i

croissantes F_i

[

20- 40[

40-60[

60-100[

15

20

45

1

5

0,15

3

0

[

3

5

0,20

0,45

0,35

0,55

1,00

5

0

[

5

8

0

[

100-200[

1

00

1

50

Total

1

00

1,00

1

7